1.7 ATIVIDADES DE ENSINO

Como dissemos anteriormente, as ATIVIDADES DE ENSINO são atividades curiosas para jovens e adultos que podem ser utilizadas em “feiras de matemática”.

7.1 CÓDIGOS DE BARRA

Sempre que vamos fazer uma compra encontramos um código de barras sendo utilizado nos produtos. O sistema universal conhecido como UPC (Uniform Product Code) foi adotado nos Estados Unidos e Canadá a partir de 1973. Consiste de uma seqüência de 12 dígitos, representados por barras brancas e pretas alternadas, de espessura variável. O padrão adotado hoje contém 13 dígitos. Os primeiros dois ou três dígitos são utilizados para identificar o país onde o fabricante está registrado, que pode não ser o país onde o artigo é produzido; os próximos quatro ou cinco dígitos indicam o produtor e os cinco restantes identificam o artigo produzido. Finalmente o último dígito é um dígito de controle.

O código de barras de todos os produtos no Brasil começa com a seqüência 789, que é a que identifica o país.

São quatro espessuras possíveis para as listras. O símbolo 0 identifica uma listra branca fina, o símbolo 00 para uma listra média, 000 para uma branca grossa e 0000 para uma muito grossa. Da mesma forma, vamos representar por 1, 11, 111, 1111 uma barra preta fina, média, grossa e muito grossa, respectivamente. As primeiras quatro listras da figura acima (sem contar, é claro as listras que servem de limite e que aparecem mais compridas na figura) que são: uma listra branca fina, uma preta média, uma branca fina, uma preta grossa, respectivamente, podem ser representadas pela seqüência: 0110111.

Um código de barras representa uma sequência de números. Cada número corresponde um espaço de espessura fixa, que associa uma seqüência de sete dígitos iguais a 0 ou 1. Por exemplo, a seqüência 0110111, que encontramos acima representa o 8.

Como a máquina leitora distingue a direita da esquerda, quando um artigo pode ser passado em uma ou outra direção?

A resposta é simples, o desenho de barras é totalmente simétrico para a máquina que o lê usando um feixe de luz (scanner). Os dígitos são codificados de maneira diferente quando estão do lado direito ou esquerdo do código de barras. Isto é feito conforme a Tabela 9.1 abaixo:

Tabela 7.1

Dígito	Do lado esquerdo	Do lado direito
0	0001101	1110010
1	0011001	1100110
2	0010011	1101100
3	0111101	1000010
4	0100011	1011100
5	0110001	1001110
6	0101111	1010000
7	0111011	1000100
8	0110111	1001000
9	0001011	1110100

A codificação de um número, à direita, se obtém da sua codificação à esquerda, trocando cada 0 por 1 e reciprocamente. Observamos que cada seqüência do lado esquerdo tem um número ímpar de dígitos iguais a 1 e, conseqüentemente, cada uma das seqüências que estão à direita tem um número par. Assim, verificando a paridade de cada seqüência de sete dígitos, a máquina sabe imediatamente de que lado está lendo o código.

O código de barras de todos os produtos produzidos no Brasil começa com a seqüência 789, que é a seqüência numérica que identifica o país.

Os quatro ou cinco dígitos que restam até as barras centrais identificam o fabricante. Os primeiros cinco dígitos do lado direito identificam o produto específico, desse fabricante. O último dígito, chamado dígito de verificação, é adicionado no final do processo de elaboração do código.No código ao lado o dígito de verificação é o 2.

Nos sistemas com dígito de verificação ou algarismo de teste, não se pretende que o erro seja automaticamente corrigido, mas que a pessoa que é o operador da máquina, perceba a ocorrência do erro e seja alertado da necessidade de reescrever o número.

Como a máquina detecta quando um operador apressado comete um erro de digitação?

A DETECÇÃO DE ERROS

Para compreender como funciona o processo de detecção de erros precisamos entender, inicialmente, como se atribui a cada produto, o dígito de verificação.

No código de barras acima, temos a seqüência de dígitos 7 8 9 1 0 0 0 3 7 0 9 0 e o dígito verificador 2 . Vamos supor que não sabemos que é o 2 e queremos encontrá-lo. Para isso vamos denotá-lo por x.

Para facilitar a exposição, escrevemos esta seqüência de treze dígitos como um “vetor”

.

Utilizamos um “vetor” fixo, chamado vetor de pesos :

.

Calcula-se, assim o “produto escalar” dos vetores:

.

Agora o dígito de verificação x se escolhe de tal forma que o “produto escalar” acima, que é igual a seja múltiplo de 10.

Neste caso o dígito x é igual a 2 porque é múltiplo de 10.

De um modo geral, escrevendo a seqüência:

e o “vetor” de pesos

calculando o “produto escalar” dos vetores

o dígito de verificação é escolhido de modo que a soma acima seja múltiplo de dez.

Vejamos agora como funciona a detecção de erros. Suponhamos que o código de barras 7 8 9 0 1 0 0 3 7 0 9 0 por um erro de digitação é transmitido como . Ao fazer a verificação de leitura, o computador que recebeu a informação faz o “produto escalar” e obtém:

como o produto não é múltiplo de 10, o computador avisa que foi cometido algum erro.

Responda:

1.      Qual é o dígito verificador x do produto identificado por 978102713720-x ?

2.      Se mais de um erro for cometido na digitação, o método ainda funciona?

3.      Se a escolha do dígito verificador x fosse feita simplesmente de modo que

fosse múltiplo de 10, seria detectado algum erro?

7.2 ISBN (International Standard Book Number)

Um sistema universalmente adotado para a classificação de livros é o ISBN. Neste exemplo um livro recebeu o código ISBN 85-262-3245-2 uma seqüência de 10 dígitos e o dígito verificador é o 2. Agora o “vetor” é igual a

 .

O “vetor” de pesos no ISBN é e a divisibilidade é por 11

Fazendo o “produto escalar” e obtemos:

o resultado é múltiplo de 11, não foi cometido nenhum erro.

Responda:

Qual é o dígito verificador x do livro identificado por ISBN 85-7312-135-x ?

Se você quer saber mais sobre o assunto, acesse:

http://www.adams1.com/pub/russadam/history.html

http://en.wikipedia.org./wiki/ENIAC

7.3 JOGO DE NIM

É um antigo jogo de palitos jogado por duas pessoas.

Dispõe-se sobre uma mesa 32 palitos de fósforo. Cada jogador na sua vez, pode retirar, no mínimo 1 e, no máximo, 4 palitos. Perde o jogador que retirar o último palito.

A pergunta é: como vencer neste jogo?

Sugestão. Observar atentamente a distribuição dos palitos no desenho abaixo.