Se a palavra congruência
significa coerência, harmonia. O que sugere o título números
congruentes?
EXEMPLO 4.1
Escrevemos os
números em tabela e tentaremos encontrar alguma coerência entre aqueles da
mesma coluna:
Tabela
4.1
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
42
|
43
|
44
|
45
|
46
|
47
|
48
|
49
|
 |
|
|
|
|
Nesta tabela a
coerência que observamos é a seguinte, na primeira coluna só aparecem os
números que divididos por cinco deixam resto zero, são aqueles múltiplos de 5:
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 
quociente 0 e resto 0
quociente 1 e resto 0
quociente 2 e resto 0
quociente 3 e resto 0
quociente 10 e resto 0
Na segunda só
aparecem os números que divididos por cinco deixam resto igual a um, que são:
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36,
quociente 0 e resto 1
quociente 1 e resto 1
quociente 2 e resto 1
quociente 3 e resto 1
quociente 8 e resto 1
Na terceira os
números cujo resto é dois: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37,
Na quarta coluna
o resto é três e na quinta, resto quatro. Pára por aí, porque na divisão por 5
o maior resto é quatro.
Os números de cada coluna são congruentes.
Por exemplo, o zero é congruente ao 5, ao 10, ao 45, ao próprio 0, etc.
O número 3 é congruente ao 3, ao 8, ao 13, ao 18, ao 128 porque 128
dividido por 5 deixa resto 3 assim como 18 dividido por 5.
O número 184
está na última coluna, porque quando dividido por 5 deixa resto 4.
Em que coluna
estão os números 312 e 2293?
Se você
escolher dois números da quarta coluna (coluna do resto 3) e subtrair o menor
do maior, em que coluna estará a diferença? Se você fizer a soma deles, o
resultado estará em qual coluna?
EXEMPLO 4.2
Observemos a harmonia nos fios
desta teia de aranha. Vamos distribuir os números de 0 a 35 nos nós dos fios
circulares. Em seguida os números 36 a 71. Cada fio circular corresponde a uma
linha na Tabela 4.2 abaixo.
Esquematizando a teia.
Tabela
4.2
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
...
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
42
|
43
|
44
|
45
|
46
|
47
|
...
|
67
|
68
|
69
|
70
|
71
|
72
|
73
|
74
|
75
|
76
|
77
|
78
|
79
|
80
|
81
|
82
|
83
|
...
|
113
|
114
|
115
|
116
|
117
|
108
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
O número 864 aparece em qual fio? E o
número 1.489?
EXEMPLO 4.3
Consideremos a seguinte questão: se hoje é
quinta-feira, daqui a 123 dias, que dia da semana será? E há 123 dias passados,
que dia da semana foi?
Consideremos a correspondência entre a
sucessão de dias e o conjunto dos números inteiros. Ao dia de hoje
(quinta-feira) associamos o número zero, ao dia de amanhã o 1, e assim por
diante; ao dia de ontem (quarta-feira) associamos o 
, ao anteontem o 
, etc. Observemos a tabela:
, ao anteontem o , etc. Observemos a tabela:
Tabela
5.2
Domingo
|
Segunda
|
Terça
|
Quarta
|
Quinta
|
Sexta
|
Sábado
|
-11
|
-10
|
-9
|
-8
|
-7
|
-6
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
O 13 e o 6
representam o mesmo dia da semana que é a quarta-feira, 11 e 
representam a segunda-feira, 22 e 
representam a sexta-feira.
representam a segunda-feira, 22 e representam a sexta-feira.
Observemos as
diferenças
é múltiplo de 7
é múltiplo de 7
também é múltiplo de 7
Dois inteiros
representam o mesmo dia da semana quando a sua diferença é um múltiplo de 7.
Na coluna da
quinta-feira estão os múltiplos inteiros de 7. Na coluna de sexta-feira, os que
deixam resto 1 na divisão por 7. Na do sábado, os inteiros que deixam resto 2,
e assim sucessivamente até a quarta-feira que deixa resto 6.
Precisamos saber
qual é o resto quando dividimos 123 por 7.
a coluna que deixa resto 4 é a
segunda-feira.
E como
Então 
está na coluna do resto 3 que é o domingo.
está na coluna do resto 3 que é o domingo.
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