Estudamos nas páginas anteriores somente os critérios de divisibilidade por 2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 9 e 11. Existem outros critérios, por exemplo, por 6 , por 7, mas acreditamos que para o momento não serão necessários. O que precisamos agora é conhecer alguns números primos. A definição de número primo é a seguinte:
Algumas vezes não é necessário conhecermos os divisores de um número e sim quantos divisores tem o número. O problema dos armários que vem a seguir ilustra essa situação. Para resolvê-lo não é necessário conhecermos todos os divisores do número 100, basta saber que o número 100 tem 9 divisores (número ímpar de divisores).
EXEMPLO 3.1
Numa escola, ao longo de um corredor comprido, estão enfileirados 100 armários, numerados consecutivamente de 1 a 100, com suas portas fechadas. Cem alunos da escola, também numerados de 1 a 100, resolvem fazer a seguinte brincadeira:
O aluno número 1 passa pelo corredor e abre todos os armários; em seguida o aluno número 2 passa e fecha todos os armários de número par; depois passa o aluno número 3 e inverte a posição das portas de todos os armários “múltiplos de três” isto é, ele os fecha se estiverem abertos e os abre se estiverem fechados; depois, é a vez do número 4 que inverte a posição das portas dos armários “múltiplos de 4”, e assim sucessivamente. Após a passagem dos 100 alunos, qual será o armário de maior número que estará fechado?
Dá para ter uma idéia por onde começar?
- O primeiro passo é tentar entender o problema fazendo tabelas ou desenhos. Vamos voltar ao enunciado.
Os alunos mexem nas portas dos armários, abrindo se estiverem fechadas e fechando se estiverem abertas.
- De que modo mexem nas portas os cem alunos?
A resposta está no enunciado do problema:
- o aluno número 2 passa e fecha todos os armários de número par e deixa os armários ímpares como estavam ;
- o aluno número 3 e inverte a posição das portas de todos os armários “múltiplos de três”;
- o número 4 inverte a posição das portas dos armários “múltiplos de 4”, e assim sucessivamente.
Vamos fazer um quadro para visualizar melhor essas condições. Na primeira linha da tabela colocamos os armários numerados e na primeira coluna os alunos também numerados. Para a palavra fechado usamos a letra F e a letra A para aberto.
Examinemos o armário 4: o aluno número 1 abre esse armário, o aluno número 2 o fecha, o 3 não faz nada, o 4 o abre, o 5 não mexe, o 6 não mexe, etc.
Examinemos o armário 98: o aluno número 1 abre esse armário, o aluno número 2 fecha, o 3 não mexe, o 4 não mexe, o 5 não faz nada, o 6 não mexe, o 7 abre, o 8 não mexe, o 14 fecha, o 49 abre, o 98 fecha.
Examinemos o armário 99: o aluno número 1 abre esse armário, o aluno número 3 o fecha, o 9 abre, o 11 fecha, o 33 abre e o 99 fecha.
Portanto, mexem no armário 100 os alunos números: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100. O aluno 1 abre, o aluno 2 fecha, o aluno 4 abre, 5 fecha, 10 abre, 20 fecha, 25 abre, 50 fecha e 100 abre.
Conclusão: depois de passarem os 100 alunos, o armário de número 100 estará aberto.
Ainda sobre número de divisores.
VIRANDO AS CARTAS
Disponha de um naipe completo de um baralho, do Ás ao Rei, que corresponde numericamente do 1 ao 13.
- Comece colocando as cartas, por ordem, da esquerda para a direita, com a face numérica voltada para baixo.
- Siga os seguintes passos, por ordem, começando sempre da esquerda para a direita:
1. Vire todas as cartas.
2. Vire todas as cartas que são múltiplos de 2.
3. Vire todas as cartas que são múltiplos de 3.
4. Continue o processo, virando, sucessivamente, todas as cartas que são múltiplas de 4, 5, ... , de 13.
- Tente descobrir porque razão apareceu a seqüência: 1, 4 e 9.
A comunicação entre computadores pela Internet cria novos desafios àqueles que trabalham com a criptografia. A cada dia torna-se necessário inventar novos códigos que sejam difíceis de decifrar. Os códigos usados em aplicações comerciais, e não na espionagem são denominados códigos de chave pública. Em um código de chave pública é possível codificar, mas é muito difícil decodificar, pois nem sempre o desfazer um processo é simples.
1. Como fatorar um número tão grande?
2. Como determinar se um número é primo ou não?
Existem muitos algoritmos de fatoração, alguns são úteis para uma chave pública e
outros para diferentes chaves. Muitas pesquisas ainda estão por fazer. As portas estão abertas
Observando a tabela:
A afirmação falha para n=41. Também não é verdadeira para outros valores de n.
Existem muitos números primos, há 168 números primos entre 1 e 1000, 135 entre 1000 e 2000 e 127 entre 2000 e 3000. Mesmo usando os computadores, há limitações para pesquisas de buscas de números primos. Euclides, 300 a.C. apresentou uma demonstração garantindo que o conjunto dos números primos é infinito.
Vamos fornecer uma pequena tabela de números primos que pode auxiliar no cálculo do máximo divisor comum e na resolução de problemas. No “site” http://www.gregosetroianos.mat.br encontramos uma tabela com mais elementos.
Um outro problema de números deixado por Fermat que ficou conhecido como o Último Teorema de Fermat só foi resolvido depois de 350 anos, em 1995, pelo matemático inglês Andrew Wiles, usando muita matemática sofisticada.
Sugerimos aos alunos a leitura do interessante livro: de SINGH,Simon. O último teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu as maiores mentes do mundo durante 358 anos. Tradução de Jorge Luiz Calife.- 2aed.- Rio de Janeiro: Record, 1998.
EXEMPLO 3.2
pq 48 na questao do armario?
ResponderExcluirpq 48 na questao do armario?
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