1.2 CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Para a palavra critério, encontramos no dicionário Aurélio:

Critério: sm. O que serve de norma para julgar; caracteres que distinguem o erro da verdade; ...

Os critérios de divisibilidade são usados quando procuramos os divisores de um número. Por exemplo, será que o número 123.456.789.987 é divisível por 3? Fazer esta conta despende tempo e muita atenção. Já com o critério de divisibilidade, rapidamente, podemos garantir que esse “numerão” é divisível por 3. Em muitos problemas não nos interessa o resultado da divisão, e sim se o número é divisível ou não, somente isso. Vamos iniciar com o critério e divisibilidade por 2 que é o mais simples.

CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 2 

EXEMPLO 2.1 

Complete a Tabela 2.1 de decomposição de alguns números:

Da decomposição do número 1453,

A última parcela que é o 3 não é múltipla de 2. Isto nos garante afirmar que o número 1.453 não é múltiplo de 2. Deixa a divisão não é exata.

Quando dizemos que um número é múltiplo de 2, estamos também afirmando que o número é divisível por 2, ou seja o resto na divisão por 2 é zero.

Quais dos números da Tabela 2.1 são divisíveis por dois?

 Então, qual é o critério para um número ser divisível por 2?

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A resposta é muito simples, basta que o algarismo das unidades seja igual a: 0 , 2 , 4 , 6 ou 8. 

Simplificando, basta que o algarismo das unidades seja um número par.

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CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 5 

EXEMPLO 2.2 

Vamos completar a Tabela 2.2 

Da decomposição do número 6435,

última parcela que é o 5 também é múltipla de 5. Isto nos garante que o número 6.435 é múltiplo de 5 , o que quer dizer que deixa resto 0 na divisão por 5, melhor ainda a divisão é exata.

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Podemos afirmar que o critério de divisibilidade por 5 é o seguinte: um número é divisível por 5 quando o seu algarismo das unidades for 5 ou 0.

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CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 9

 EXEMPLO 2.3 

Para encontrarmos o critério de divisibilidade por 3 ou 9, faremos a decomposição das potências de 10 como a soma de duas parcelas, uma que é múltipla de 3 ou 9 e o número 1. 

Assim:

 

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Obtemos o critério de divisibilidade por 3 e por 9: um número é divisível por 3 ou 9 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3 ou 9.

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CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 8

EXEMPLO 2.4 

Vamos completar a Tabela 2.4 com uma decomposição mais reduzida do que no exemplo anterior

                                 Na decomposição do número 35.832

o que deve ser levado em conta na verificação de que esses números sejam divisíveis por 8, é o número formado pelos três últimos algarismos (das centena, dezena e unidade).

       Se o número 832 for divisível por 8, podemos garantir então que o número 35.832 também o é. E como 832 é divisível por oito, o número 35.832 também é. Já o número 9.478 não é divisível por 8 porque 478, deixa resto 6 na divisão por 8.

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Um número é divisível por 8 se o número formado pelos três últimos algarismos (das centena, dezena e unidade) o for.

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CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 11

Uma aplicação deste critério aparece quando buscamos o dígito corretor de erros no ISBN (Internacional Standard Book Number). O sistema ISBN associa um número a todos os livros publicados no mundo.

 Esse número composto por dez algarismos pode ser visto normalmente na contra capa dos livros. Recomendamos a ATIVIDADE 9.2 no final deste bloco.

Para encontrarmos o critério de divisibilidade por 11, faremos a decomposição das potências de 10 como a diferença ou soma de duas parcelas, uma é múltipla de 11 e a outra é o número 1. 

EXEMPLO 2.5

é um número múltiplo de 11 porque

Podemos concluir que o número 45.732 não é múltiplo de 11. 

Na decomposição do número 45.732 em duas parcelas

podemos concluir que o número 45.732 não é múltiplo de 11.

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Critério de divisibilidade por 11: um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par pela a soma dos algarismos de ordem ímpar for divisível por 11.

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    Os algarismos da unidade, centena, dezena de milhar, e assim por diante são considerados de ordem ímpar enquanto os da dezena, milhar, centena de milhar, etc. são de ordem par. 

CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 4

     Um número para ser divisível por 4 basta ser par? A resposta é não. É necessário que seja par, mas não basta ser par. O número 26 é par mas não é divisível por quatro. É muito simples encontrarmos outros números pares que não são divisíveis por 4.

     A condição para que um número seja múltiplo de quatro é que o número formado pelos algarismos da dezena e da unidade seja múltiplo de quatro 4.438 é par e não é múltiplo de quatro porque 38 não o é.

O número 4.438 serve de contra-exemplo. Um único contra-exemplo é suficiente para assegurar que não basta o número ser par para ser múltiplo de quatro. 

O número abcd na decomposição decimal fica:

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Um número é divisível por 4 se o número formado pelos dois últimos algarismos(das dezenas e das centenas) o for.

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EXEMPLO 2.6 

    Usando os algarismos 1, 3, 4, 5, e mais um algarismo diferente dos anteriores, a sua escolha, escreva o maior número de cinco algarismos que seja divisível por 12. 

    Para ser divisível por 12 deve ser por 4 e 3 ao mesmo tempo. 

    Para ser divisível por 3, a soma dos seus algarismos deverá ser divisível por 3. Então vamos lá: 1+3+4+5=13. O maior algarismo que devo acrescentar a essa soma para que ela se torne múltipla de 3 deve ser o 8 pois 13+8=21 ou o 5 pois 13+5=18 , mas o 5 já é um dos números do problema. Ficamos com o 8. 

    Agora vamos escrever os múltiplos de 4 usando os algarismos: 1, 3, 4, 5 e 8. Pelo critério de divisibilidade por 4, o número formado pelos dois últimos algarismos deve ser divisível por 4.

    Só são divisíveis por quatro: 48 e 84. 

    Para formar o maior número de cinco algarismos devemos colocar o algarismo 5 na posição dezena de milhar, terminar em 48 ou 84. 

ainda devem ser usados os algarismos 1 e 3.

Observemos que não existe uma regra ou técnica para resolver esses problemas. Devemos sempre procurar os caminhos conhecidos ou semelhantes já usados em situações anteriores.