Para fixar e recordar o que foi
apresentado até o momento, propomos algumas atividades que chamamos de
exercícios, que são onze, e catorze probleminhas.
EXERCICIO 6.1
Responda
1) A decomposição na base dez do número 123.987 é:
2) Na base dois o número 67 é escrito como:
EXERCICIO 6.2
No quadro abaixo, risque os
números que não são primos:
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
42
|
43
|
44
|
45
|
46
|
47
|
48
|
49
|
50
|
51
|
52
|
53
|
54
|
55
|
56
|
57
|
58
|
59
|
60
|
61
|
62
|
63
|
64
|
65
|
66
|
67
|
68
|
69
|
70
|
71
|
72
|
73
|
74
|
75
|
76
|
77
|
78
|
79
|
80
|
81
|
82
|
83
|
84
|
85
|
86
|
87
|
88
|
89
|
90
|
91
|
92
|
93
|
94
|
95
|
96
|
97
|
98
|
99
|
100
|
101
|
102
|
103
|
104
|
105
|
106
|
107
|
108
|
109
|
110
|
111
|
112
|
113
|
114
|
115
|
116
|
117
|
118
|
119
|
120
|
121
|
122
|
123
|
124
|
125
|
126
|
127
|
128
|
129
|
130
|
131
|
132
|
133
|
134
|
135
|
136
|
137
|
138
|
139
|
140
|
141
|
142
|
143
|
144
|
145
|
146
|
147
|
148
|
149
|
150
|
151
|
152
|
153
|
154
|
155
|
156
|
157
|
158
|
159
|
160
|
161
|
162
|
163
|
164
|
165
|
166
|
167
|
168
|
169
|
170
|
171
|
172
|
173
|
174
|
175
|
176
|
177
|
178
|
179
|
180
|
181
|
182
|
183
|
184
|
185
|
186
|
187
|
188
|
189
|
190
|
191
|
192
|
193
|
194
|
195
|
196
|
197
|
198
|
199
|
200
|
Em quais colunas eles mais aparecem? Em
quais não aparecem?
Comentário:
Não é tão fácil
encontrar números primos. Os primos da forma 
são chamados “primos de Mersenne” em homenagem a Marin Mersenne
(1588-1648) embora outros matemáticos já tivessem trabalhado com esses números
anteriormente. Para se ter uma idéia das dificuldades, até 2006 só haviam sido
confirmados 44 primos de Mersenne, sendo que esse 44o número primo é
. Esse número tem nove milhões, oitocentos e oito mil, trezentos e
cinqüenta e oito dígitos. Só para termos uma idéia de quão grandes são esses
números que o 12o primo de Mersenne é:
são chamados “primos de Mersenne” em homenagem a Marin Mersenne
(1588-1648) embora outros matemáticos já tivessem trabalhado com esses números
anteriormente. Para se ter uma idéia das dificuldades, até 2006 só haviam sido
confirmados 44 primos de Mersenne, sendo que esse 44o número primo é
. Esse número tem nove milhões, oitocentos e oito mil, trezentos e
cinqüenta e oito dígitos. Só para termos uma idéia de quão grandes são esses
números que o 12o primo de Mersenne é: 
EXERCICIO 6.3
1) Qual é um método para encontrar o máximo divisor comum de dois
números? Encontre o 
.
.
2) Qual é um método para encontrar o mínimo múltiplo comum de dois
números? Encontre o 
.
.
3) Encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos
números
a) 50,
480 e 900
b) 3690
e 423.
EXERCÍCIO 6.4
Complete o
quadro substituindo a letra x por um algarismo de modo que o
número da primeira coluna seja divisível por 2 , 5 , 9 e 11, quando possível.
2
|
5
|
9
|
11
|
2 e 5
|
|
932.57x
|
|||||
16.8x4
|
7
|
||||
x2.908
|
EXERCÍCIO 6.5
Um edifício
muito alto possui 250 andares, excluindo-se o térreo. Do andar térreo partem
cinco elevadores, A , B , C , D e E.
O elevador A pára em todos os
andares.
O elevador B pára nos andares
múltiplos de 5.
O elevador C pára nos andares
múltiplos de 7.
O elevador D pára nos andares
múltiplos de 15.
O elevador E pára nos andares
múltiplos de 35.
Responda:
a) Em quais andares param os elevadores B e
E?
b) Em quais andares param os elevadores B e
D?
c) Em quais andares param os três
elevadores?
d) Há algum andar onde param os cinco
elevadores?
EXERCÍCIO 6.6
Quais algarismos podem
substituir a letra d , em cada caso, para que os números da
primeira coluna sejam divisíveis pelos números da primeira linha?
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
53d
|
|||||||||
84d2
|
|||||||||
17d30
|
|||||||||
3d9051
|
|||||||||
d32640
|
EXERCÍCIO 6.7
1. Encontre dois números de quatro algarismos cujo máximo divisor comum
seja 36.
2. Encontre dois números de quatro algarismos cujo mínimo múltiplo
comum seja 150.
3. Quais são os possíveis números cujo máximo divisor comum seja 45 e o
mínimo múltiplo comum seja 180?
EXERCÍCIO 6.8
Por uma parada de ônibus passam
três linhas, L 401, L 402 e L 403. Os ônibus da linha L 401 passam a cada 10
minutos, os da linha L 402 a cada 12 minutos e da L 403 a cada 15 minutos.
Sabe-se que os três circulam 24 horas. Às 6 da manhã os três passaram por essa
parada. Quando voltarão a coincidir?
EXERCÍCIO 6.9
Se colocarem os
convidados de uma festa em mesas de 8, 10 ou 12 pessoas, sobram 3 convidados,
mas em mesas de 9 pessoas, cabem justos. Quantos convidados pode haver nessa
festa?
EXERCÍCIO 6.10
Complete a Tabela
Números
Poligonais
|
Primeiro
|
Segundo
|
Terceiro
|
Quarto
|
Quinto
|
 |
n-ésimo
|
Triangulares
|
1
|
3
|
6
|
10
|
15
|
|
 |
Quadrados
|
1
|
4
|
9
|
16
|
25
|
|
 |
Pentagonais
|
1
|
5
|
12
|
22
|
35
|
|
 |
Hexagonais
|
1
|
6
|
15
|
28
|
45
|
|
 |
Heptagonais
|
|||||||
Octogonais
|
|||||||
Eneagonais
|
|||||||
Decagonais
|
EXERCÍCIO 6.11
Pode o número
110 ser triangular?
PROBLEMA 6.12
1) Escreva os números ímpares 1, 3, 5, ... , 17 nas quadrículas da
grade 3x3 de modo que a soma dos números em cada linha, coluna ou diagonal seja
27.
2) Substitua a letra X no número X 7 X X X X X X 9 de
modo que a soma de três algarismos adjacentes seja igual a 20 (adjacente
significa contíguo, junto).
3) Troque o símbolo 
por números na multiplicação
por números na multiplicação
|
4) Justifique
o produto:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
5) Porque o algarismo das unidades de um número natural elevado ao
quadrado não pode ser em 2 , 3 ,7 ou 8 ?
6) Deseja-se dividir um terreno retangular de 18 m de frente por 30 m
de fundos em quadrados todos iguais. Qual é o número mínimo de quadrados?
7) Para se comprovar que um número p é primo, pode ir dividindo p
pelos primos 2 , 3 , 5 , 7 , etc. até que o quociente seja menor que o
divisor. Se não conseguiu nenhuma divisão exata, poderá afirmar que p é
primo. Por exemplo, 79 é primo, porque entre as divisões abaixo, nenhuma é
exata
(o quociente já é menor que 11)
Seguindo este método, verifique
se os números 541 e 2311 são primos.
8) Dois livros têm 768 e 480 páginas, respectivamente. Ambos estão formados
por capítulos com idêntico número de páginas, compreendidos entre 30 e 40
páginas. Quantas páginas tem cada capítulo?
9) O produto de dois números naturais é igual ao produto do seu mínimo
múltiplo comum pelo seu máximo divisor comum. Comprove esta propriedade com os
pares de números seguintes:
a)
1820 e 920
b)
2025 e 525
10) É
possível o produto de dois números ser 1444 e seu mínimo múltiplo comum ser
361?
11) (FUVEST) Uma
senhora tinha entre trinta e quarenta ações de uma empresa para dividir
igualmente entre todos os seus netos. Num ano, quando tinha 3 netos, se a
partilha fosse feita, deixaria uma ação sobrando. No ano seguinte, nasceu mais
um neto e, ao dividir igualmente entre os quatro netos o mesmo número de ações,
ela observou que sobrariam 3 ações. Nesta última situação, quantas ações
receberá cada neto?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
12) (FUVEST) Um supermercado adquiriu
detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10
caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2
frascos de detergente a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos
entregues, no aroma limão, foi
a) 110
b) 120
c) 130
d) 140
e) 150
13) (FUVEST) O menor número inteiro
positivo que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um
número inteiro positivo é
a) 37
b) 36
c) 35
d) 34
e) 33
14) (UNICAMP) Sabe-se que um número natural
D, quando dividido por 31, deixa resto 
e que o mesmo número D, quando dividido por 17, deixa resto 
.
e que o mesmo número D, quando dividido por 17, deixa resto .
a) Qual é o maior valor possível para o número natural r ?
b) Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quociente for
igual a 7, calcule o valor numérico de D.
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