Explicando o que vamos desenvolver
Para este bloco
propomos o estudo dos números de forma ágil, mas não deixando de lado técnicas
numéricas e algébricas que acreditamos serem necessárias para a resolução de
problemas.
Os dez assuntos que
formam este bloco são:
1.1
Decomposição
de números naturais no sistema decimal e alguns exemplos de decomposição na
base 2.
1.2
Critérios
de divisibilidade por: 2, 3, 4, 5, 8, 9 e 11. Destacamos o critério de
divisibilidade por 11 por sua aplicabilidade.
1.3
Números
primos, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Uma das motivações pelo
assunto é a preocupação com a segurança dos cartões de créditos. Vamos
acrescentar neste tópico a riqueza da história da matemática.
1.4
Números
congruentes, que parecem novidade no ensino médio, tratam do resto da divisão entre
dois números naturais. Assunto merece consideração por sua aplicação na leitura
ótica dos códigos de barra.
1.5
Padrões,
relações numéricas e números figurados. Com exemplos de padrões buscamos
generalizações e construções de regras.
1.6
As atividades de sistematização são exercícios
para fixação de conceitos e o desenvolvimento da habilidade da escrita
matemática.
1.7
As
atividades de ensino apresentadas são aplicações dos temas estudados. Podem ser
utilizadas em “feiras de matemática”. Trazemos para ilustrar noções de código
de barras, com duas atividades, e o tradicional jogo de palitos ou jogo do Nim.
1.8
Resolução de problemas. Resolvemos juntos
alguns problemas interessantes que foram questões de vestibulares e das
Olimpíadas Brasileiras das Escolas Públicas do Ensino Médio.
1.9
Para
concluir este bloco, assim como todos os outros, colocamos pequenos textos para
leitura, que pincelam a matemática. Neste bloco, o texto trata da longevidade
das cigarras e sua relação com os números congruentes.
INTRODUÇÃO
Vamos apresentar um pouco da matemática que
serve de fundamento ao campo computacional. A maior parte dela já era abordada
pelos gregos e denominada logística,
quando tratava de cálculos comerciais e de aritmética
quando tratava do estudo das propriedades fundamentais dos números inteiros. A aritmética dos gregos é hoje conhecida
como a Teoria dos Números.
Os problemas
abordados por eles eram:
- O cálculo do máximo divisor comum entre dois números;
- A determinação de números primos menores que um número inteiro dado;
- A demonstração de que há uma infinidade de números primos.
Esses
temas também foram fundamentados pelos matemáticos: Fermat, Euler e Gauss,
entre os séculos XVII e XIX. A fundamentação da Teoria dos Números tem mais de 300
anos e as aplicações sofisticadas de hoje têm menos de 20 anos.
Uma
aplicação dessa teoria nos dias de hoje aparece quando digitamos um texto. É
muito comum trocarmos letras de posições, por exemplo, escrevemos pasat
ao invés de pasta, trocamos o “t” com o “a”. Imediatamente um
corretor de texto grifa em vermelho a palavra, chamando a nossa atenção. Mas
quando digitamos pata para a palavra tapa, trocamos o “t”
com o “p”, o corretor não acusa o erro cometido, e só percebemos
quando relemos a página.
Agora imaginemos
uma situação de banco, onde o funcionário acidentalmente troca a ordem dos
números. Isto é muito fácil de acontecer. Como é detectado esse tipo de erro?
Será que existe alguma proteção contra esses erros? Qual é o significado do
dígito 9, sozinho, ali na quarta célula?
A matemática usada para detectar ou corrigir um
erro tem origem nos números primos e nos critérios de divisibilidade.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
O dígito 9
alerta para algum erro de digitação em algumas das células. Esse dígito é chamado
código corretor de erro.
Um código
corretor de erros acrescenta algum dado a cada informação que se queira
transmitir ou armazenar, que permita, ao recuperar a informação, detectar ou
corrigir o erro. Esta área da matemática é muito atual, pois participa do nosso
cotidiano todas as vezes que fazemos uso de informações digitalizadas.
A tecnologia
tornou possível o baixo custo de aparelhos de leitura óptica, surgindo os scanners que são usados na identificação
de códigos de barra nos produtos dos supermercados, das farmácias, dos livros
nas bibliotecas, das contas a pagar, dos cartões de crédito, e muitos outros.
Nos códigos de barra, o sistema de numeração usado não é a base dez e sim a
base dois. Cada barra preta ou branca tem uma espessura diferente que
representa uma seqüência de números na base dois e os scanners fazem essa
tradução, identificando o produto, dando baixa na prateleira, verificando o
custo, etc. Para compreender um pouco mais como funciona um código corretor de
erros recomendamos a atividade que está em 1.7
nas Atividades de Ensino.
Para este bloco
propomos o estudo dos números de forma ágil, mas não deixando de lado técnicas
numéricas e algébricas que acreditamos serem necessárias para a resolução de
problemas que virão.
Vamos iniciar com a decomposição dos
números naturais.
1.1 DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Nosso
ponto de partida neste estudo será o conjunto dos números naturais
com as operações de adição e multiplicação
conhecidas.
Os dez
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 definem uma base para o conjunto dos
números naturais. Isto significa que o número 29.542 se escreve de modo único
como:
Base, S.f.: tudo que serve de fundamento, apoio ou sustentáculo.
Esta organização
que encontramos na escrita dos números naturais é uma característica do sistema
decimal. Ele também é posicional, pois cada algarismo além do seu valor
intrínseco possui um peso que lhe é atribuído em função da posição que ocupa no
número. Por exemplo, no número 29.542 o algarismo 2 ocupa duas posições, com
valores diferentes, como unidade e como dezena de milhar. Na base dez o número
29.542 tem a seguinte decomposição:
A seguir apresentamos uma aplicação do
sistema de numeração na base 2 que são os
Códigos binários /
ASCII
Uma boa maneira de tentar entender o
que faz um computador é pensar que o computador é uma máquina complexa que
contem muitos interruptores que podem ficar ligados ou desligados. Na linguagem
computacional, estes interruptores estarem ligados ou não, são representados
por uma seqüência de números 1 ou 0, denotado por código binário. Este código é
uma aplicação do sistema de numeração na base dois. Um código binário de
quatro-bit é uma seqüência de quatro dígitos 1 ou 0.
Uma aplicação do código
binário é o “American Standard Code for Information Interchange” – ASCII, que
pronunciamos “As-key” . ASCII é um código no qual uma letra, um número ou outro
símbolo qualquer é representado por um número de 0 até 127. ASCII traduz em
código binário de sete-bit (seqüência de sete dígitos 1 ou 0) para o
computador. Um programador de computador algumas vezes usa o ASCII para
organizar dados porque ele é um código padrão que pode ser usado por diferentes
computadores e sistemas operacionais.
Resolva os seguintes
problemas
Sessenta e quatro
26
|
Trinta e dois
25
|
Dezesseis
24
|
Oito
23
|
Quatro
22
|
Dois
21
|
Um
20
|
Total
(base dez)
|
|
|
|
|
|
|
|
65
|
|
|
|
|
|
|
|
69
|
|
|
|
|
|
|
|
109
|
|
|
|
|
|
|
|
117
|
2. Codificando e descodificando códigos binários e mensagens ASCII
Nas tabelas abaixo,
encontramos letras, espaço, ponto e vírgula baseados no sistema ASCII.
A
|
65
|
I
|
73
|
Q
|
81
|
Y
|
89
|
g
|
103
|
o
|
111
|
w
|
119
|
B
|
66
|
J
|
74
|
R
|
82
|
Z
|
90
|
h
|
104
|
p
|
112
|
x
|
120
|
C
|
67
|
K
|
75
|
S
|
83
|
a
|
97
|
i
|
105
|
q
|
113
|
y
|
121
|
D
|
68
|
L
|
76
|
T
|
84
|
b
|
98
|
j
|
106
|
r
|
114
|
z
|
122
|
E
|
69
|
M
|
77
|
U
|
85
|
c
|
99
|
k
|
107
|
s
|
115
|
espaço
|
32
|
F
|
70
|
N
|
78
|
V
|
86
|
d
|
100
|
l
|
108
|
t
|
116
|
ponto
|
46
|
G
|
71
|
O
|
79
|
W
|
87
|
e
|
101
|
m
|
109
|
u
|
117
|
vírgula
|
44
|
H
|
72
|
P
|
80
|
X
|
88
|
f
|
102
|
n
|
110
|
v
|
118
|
|
|
Descodifique a seguinte
mensagem usando ASCII
1000101
|
1110101
|
100000
|
1100001
|
1101101
|
1101111
|
100000
|
1001101
|
1100001
|
1110100
|
1100101
|
1101101
|
1100001
|
1110100
|
1101001
|
1100010
|
1100001
|
101110
|
Descobriu qual é a mensagem?
Continuando os
nossos estudos propomos alguns probleminhas curiosos, que são os Exemplo1.1,
Exemplo 1.2, e Exemplo 1.3 que para
resolvê-los não é necessário muita informação matemática, basta possuir o
prazer do desafio. Cada problema pode ser resolvido de maneira diferente. De
início, parece que nem sabemos de onde partir, mas aos poucos conseguimos
separar quais são as suposições e chegar ao melhor caminho para a solução ou
resultado desejado.
Deve ser
observado que não existe maneira única de resolver um problema, podendo ocorrer
que alguém apresente um caminho diferente para a solução e que seja muito mais
simples daquela que sugerimos neste texto.
Todo problema
possui no seu enunciado, ou seja, na sua proposta, uma hipótese que descreve aquilo que estamos supondo como verdadeiro,
que nos conduzirá ao resultado final, e a conclusão final que é a tese.
EXEMPLO 1.1
Qual
é o algarismo das unidades do produto: 1 X 3 X 82 X 479 X 587 X 127 ?
- Primeira pergunta: o que temos que
fazer neste problema?
- Encontrar o algarismo das unidades do
produto
1 X 3 X 82 X 479 X 587 X 127 .
- Como devemos proceder para
encontrá-lo?
- Será possível obtermos a resposta
sem efetuarmos o produto que é tão longo?
Se o
algarismo pedido é o das unidades, basta pensarmos “com que número ou algarismo
termina esse produto” e, portanto não é necessário calcular o valor exato do
produto.
Começando a resolver:
A ordem por onde
começamos a efetuar o produto é independente, poderíamos ter começado por 587 X 127que o resultado final seria
o mesmo. Este problema tem uma única resposta que é o 6.
O algarismo das
unidades é o 6 e não foi preciso efetuar tanta conta.
EXEMPLO 1.2
Qual
é o algarismo na posição das centenas do menor número de quatro algarismos
diferentes? E qual é esse número?
Resolvendo
O número deve
possuir quatro algarismos __ __ __
__ , cada traço está
representando um algarismo e todos os algarismos são distintos.
Também é
informado que o número é o menor possível.
O menor número
de quatro algarismos é o mil, 1.000. Mas esses algarismos não são todos
distintos como está pedindo o problema. Podemos ficar com o:
1
0 __ __
O algarismo das centenas deve ser o zero
mas faltam os algarismos da dezena e da unidade. O algarismo da dezena deve ser
o 2 e o das unidades o 3.
O menor número
com quatro algarismos, todos diferentes, é o número 1
0 2 3 .
EXEMPLO 1.3
Qual
é o valor de X na igualdade abaixo?
Em seguida estudaremos
alguns dos critérios de divisibilidade.
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