Sabe-se que
Pitágoras passou a vida fazendo conferências sobre números e figuras e com seus
alunos formavam uma sociedade secreta que cobria a matemática de grandes
mistérios.
As descobertas
matemáticas eram conservadas tão em segredo que no século IV antes de Cristo,
conta a lenda que, Hipassus, membro de uma dessas sociedades foi afogado no mar
por ter transmitido a um leigo algumas verdades matemáticas.
Pitágoras
colocou qualidades morais nos números e nas figuras. O um representava a
razão, o dois representava a opinião, o quatro a justiça,
o cinco, o matrimônio, pois era a fusão do três o primeiro número
macho com o dois, o primeiro número fêmea.
Na videoteca da
TV Escola encontramos o vídeo “O Legado de Pitágoras- Pitágoras e outros”,
vale a pena assistir, http://tvescola.mec.gov.br
Haviam os
números perfeitos, cujos divisores (diferentes do próprio número), se
somados, reproduziam o próprio número. O primeiro era o 6, cujos divisores
(diferentes de 6) são 1 , 2 e 3 
, o segundo o 28, o terceiro 496 e o quarto 8128.
, o segundo o 28, o terceiro 496 e o quarto 8128.
Vamos mostrar
que o 28 também é perfeito e você deve mostrar que 496 também o é.
Os divisores de
28, distintos de 28 são: 1, 2, 4, 7 e 14. E por sua vez
Na época de Pitágoras ainda se
contava através do uso de marcas e os pitagóricos eram observadores das formas
geométricas. Daí a sua atenção para os números figurados. Estes como o próprio
nome diz, resultam de arranjos com pontos de maneira a formar figuras
geométricas como triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos.
Os números
triangulares são formados acrescentando-se a um número, todos os seus
precedentes. Como representado no desenho.
 |
Há uma história
acerca dos números triangulares, que mostra como a matemática deixava aos
poucos de ser um instrumento à disposição dos comerciantes e artífices, para se
transformar num conhecimento hermético, ou de mera recreação espiritual. Um
comerciante pergunta a Pitágoras o que este lhes pode ensinar.
- “Ensinar-te-ei a contar” -
responde Pitágoras.
– “Contar já sei...” - fala o
comerciante.
- “E como conta tu?” – pergunta o
filósofo.
E o comerciante começa:
- “Um, dois, três, quatro,...”
- “Pára!” - diz Pitágoras.
- “O que tomas por quatro é dez, o
triângulo perfeito, o nosso símbolo!...”
EXEMPLO 5.1
Números Triangulares
Vamos determinar quantos pontos
tem a figura 
. Observemos que cada número triangular, a partir de 
é obtido do anterior somando 2, 3, 4, 5, etc. pontos ao número
triangular anterior.
. Observemos que cada número triangular, a partir de é obtido do anterior somando 2, 3, 4, 5, etc. pontos ao número
triangular anterior. é obtido somando 4 ao 
e tem tem 10 pontos
É fácil ver que 
tem 15 pontos. Observe o que faremos para obter o número de pontos
do número triangular
tem 15 pontos. Observe o que faremos para obter o número de pontos
do número triangular 
.
e o número triangular 
tem 5.050 pontos, vejamos
tem 5.050 pontos, vejamos
Trocando a ordem das parcelas
somando:
.
O que fizemos
foi somar duas vezes as 100 parcelas de .
.
De um modo geral, fazendo o mesmo para a
figura 
para
isto significa que
EXEMPLO 5.2 Números Quadrados
Todo número
ímpar pode ser escrito na forma 
. Ou na forma 
, como pode ser observado na Tabela 5.1
. Ou na forma , como pode ser observado na Tabela 5.1
Tabela
5.1
n
|
2n-1
|
2n+1
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
3
|
2
|
3
|
5
|
3
|
5
|
7
|
4
|
7
|
9
|
5
|
9
|
11
|
...
|
...
|
...
|
100
|
199
|
201
|
...
|
...
|
...
|
Tem sentido essa expressão para
os números ímpares, já que 
é par, para todo número natural n. O anterior a ele que é o é ímpar, assim como o seu posterior que é também é ímpar.
é par, para todo número natural n. O anterior a ele que é o é ímpar, assim como o seu posterior que é também é ímpar.
Voltando aos números quadrados
.
Encontre 
e 
.
e .
Observando a
expressão de 
, e , notamos que
, e , notamos que
E concluímos que
para todo número natural n, o n-ésimo número quadrado é:
.
Observação:
A frase acima “e concluímos que
para todo número natural n” é muito forte, muito rápida, no sentido de
garantir que se uma afirmação é verdadeira para os números 
etc. seja verdadeira para todo número natural, por exemplo para o
número 
ou para o número 
.
etc. seja verdadeira para todo número natural, por exemplo para o
número ou para o número .
Podemos afirmar
que a soma dos números ímpares:
ela é verdadeira para todo número natural n.
Se fôssemos pelo rigor da matemática deveríamos provar a veracidade da
igualdade, teríamos que provar que a igualdade é realmente verdadeira. Existe,
nas regras da matemática, um método conhecido como Método da Indução Finita,
com esse método conseguimos provar afirmações do tipo: para todo número
natural. Para o momento fica apenas como observação.
EXEMPLO 5.3
Números Pentagonais
Vamos fazer um desenho ilustrativo.
e
somando as duas igualdades
agora vamos encontrar 
e para todo número natural n ,
EXEMPLO 5.4
Números Hexagonais
Apresentamos a figura e a
expressão geral para 
, efetue os cálculos como no exemplo anterior.
, efetue os cálculos como no exemplo anterior.
Para todo número natural n:
