2.1 NÚMEROS INTEIROS E NÚMEROS RACIONAIS

OS NÚMEROS INTEIROS

Sabemos que no conjunto dos números naturais

não é possível efetuarmos subtrações do tipo como porque o resultado da operação não pertence aos números naturais, .

Vamos então agregar ao conjunto novos elementos que tornem possível as subtrações. O novo conjunto é então denominado por e conhecido como o conjunto dos números inteiros

As operações de adição e multiplicação em foram estendidas da adição e multiplicação dos números naturais.

Assim,

EXEMPLO 2.1

Para recordar vamos encontrar o valor das expressões abaixo:

a)     

b)     

c)     

d)    

e)     

POTENCIAÇÃO

Recordando as regras com potências inteiras.

·         A potência de expoente 1 é a própria base. Por exemplo: .

·         Para multiplicar potências que têm a mesma base, escrevemos a base e somamos os expoentes. Por exemplo:

·         Com potência de potência, escrevemos a base e multiplicamos os expoentes. Assim

§         A potência de expoente zero (de base diferente de zero) é igual a 1.

	Não se define .

Para efetuar a potência de um produto elevam-se cada um dos fatores a essa potência. Por exemplo:

EXEMPLO 2.2

O exemplo a seguir envolve as propriedades da potenciação.

São Verdadeiras ou Falsas as igualdades?

a)     

b)     

c)     

d)    

Vejamos

a)      e por sua vez o lado direito da igualdade é .

portanto, . É falsa a igualdade.

b)     . Fazendo e temos um “contra-exemplo”.

Substituindo esses valores em encontramos

e substituindo esses mesmos valores em , obtemos

e

A igualdade só é verdadeira quando .

c)      enquanto que , logo

d)     Faça um contra-exemplo você mesmo, dando valores para a e b de modo que .

RECORDANDO AS FRAÇÕES

Quando fracionamos ou dividimos o número 21 por 7 , obtemos para quociente 3. O número 3 pode ser indicado por .

O número 19 não é divisível por 7 mas também escrevemos para representar o número 19 dividido por 7.

É conveniente ampliarmos o conjunto dos inteiros de modo que possamos representar nesse novo conjunto, todas as divisões, exatas ou não, de dois números inteiros. O número deverá estar nesse conjunto, assim como e muitos outros.

O conjunto ampliado é denotado por , conjunto dos números racionais ou também chamado conjunto dos números fracionários. Neste conjunto teremos duas operações uma adição e uma multiplicação que deverão ser “conservadas” quando restritas ao conjunto original .

A palavra “conservada” significa que essa nova adição e multiplicação, quando restritas a coincidem com as operações que já existiam anteriormente.

OPERANDO COM OS NÚMEROS RACIONAIS

Quando afirmamos que o número racional

“é o mesmo que” , que “é o mesmo que” ,

que “é o mesmo que” ,

queremos dizer que as frações

e são equivalentes ,

e são também equivalentes

e são equivalentes

também, e são equivalentes.

Para encontrar frações equivalentes, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador por um mesmo número diferente de zero.

Denotamos pelo sinal de igual = duas frações equivalentes.

é equivalente a porque

escrevemos

porque

; ;

; ;

Toda fração com denominador negativo é sempre equivalente a uma outra fração com denominador positivo. Vejamos

EXEMPLO 2.3

Complete o quadro com frações equivalentes:

ADIÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO EM

Vamos observar atentamente as somas:

Na multiplicação

As frações equivalentes são úteis porque podemos reduzi-las a uma forma mais simples, como na multiplicação acima.

Não existe denominador igual a zero!

 

Mas numerador igual a zero existe

Veja que

dizemos que é o inverso multiplicativo, ou somente inverso, de .

o número 2 é o inverso multiplicativo do número racional , assim como é o inverso multiplicativo de 2

	Só existe inverso de número racional diferente de zero.       Os números racionais da forma com e             possuem inverso denotado por que é igual a

O inverso de , denotado por é igual a ,

.

Na divisão em precisamos do inverso multiplicativo

O resultado desta divisão está na forma mais simples, na forma reduzida, já que 32 e 21 não possuem divisores comuns, são primos entre si.

EXEMPLO 2.4

Para recordar, complete rapidamente as operações abaixo:

a)                 

b)                

c)                 

d)                

e)                 

f)                 

g)                

h)                

COMPARANDO OS NÚMEROS

COMPARANDO NÚMEROS INTEIROS

Sabemos que , lemos 2 é menor que 7 , e a justificativa é que a diferença é um número positivo,

, 5 é menor que 9 , porque a diferença é um número positivo,

, 0 é menor que 8 , porque é positiva,

, é menor que 0 , porque a diferença é positivo

, é estritamente menor que 2, porque

Escrevemos e lemos 6 é menor ou igual a 6, porque

Podemos também usar e dizemos que 3 é menor ou igual a 15.

	Comparamos dois números inteiros a e b , dizendo que ·        a é menor ou igual a b, escrevemos quando é positivo, isto é, ; ·        se é estritamente positivo, ou seja , então dizemos que a é menor que b e escrevemos .

Quando , podemos também escrever, alternativamente, que e dizer que b é maior ou igual a a. Para , a alternativa é , b é maior que a.

EXEMPLO 2.5

a)      porque é positivo.

b)     porque é estritamente positivo.

c)      porque é estritamente positivo.

d)     porque é estritamente positivo

COMPARANDO NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Já vimos que as frações com denominador negativo, como são sempre equivalentes a outra com o denominador positivo como, por exemplo,

basta multiplicar ambos, o numerador e o denominador por , obtendo a fração equivalente

neste outro exemplo, é equivalente a .

Isto nos faz crer que podemos sempre trabalhar com frações de denominadores positivos.

As frações precedidas do sinal menos como são números racionais negativos, e é igual a , isto é .

.

De agora em diante vamos trabalhar somente com as frações que possuam o denominador positivo.

EXEMPLO 2.6

a)      O número é menor que , escrevemos porque .

b)      O número é menor que , escrevemos porque .

c)      O número é menor que , escrevemos porque:

0 pode ser escrito como e como e assim,

porque ou seja .

d)     Será que o número é menor que ?

Sim, porque .

Como vimos em b)

observamos que ao multiplicarmos e por , obtemos e ,

com a desigualdade invertida,

obtemos

.

e)      Será que ?

Sim, pois , como já vimos na comparação de dois números inteiros, porque .

Regras de desigualdades no conjunto dos números racionais

Se a , b , c indicam quaisquer números racionais, então:

1)  

2)  

3)  

4)  

5)  

6)  

7)  

8)  

9)  

Vamos trabalhar com estas regras

EXEMPLO 2.7

Se significa que x é menor que a e a é um número negativo. Então, qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a)     

b)     

c)     

d)     mas

e)      mas

Observemos inicialmente que x e a são números negativos seu produto é positivo. Está, portanto eliminada a alternativa d) .

Outra observação importante é que qualquer número racional elevado ao quadrado é positivo. Isto implica que . Ficam eliminadas as alternativas a) c) e e) , Vamos estudar a alternativa b) a única que sobrou.

Se , multiplicando essa desigualdade por um número negativo, que é o próprio x obtemos . De modo análogo, multiplicando a mesma desigualdade por a que é negativo, obtemos .

Concluímos que . A alternativa b) é verdadeira.

Continuando com as desigualdades

Se sabemos que e

10) 

11)  e ou seja e

12)  ou seja

13)  ou seja

Vamos exemplificar estas regras

EXEMPLO 2.8

Se , vamos verificar se são verdadeiras ou não as desigualdades:

a)     

A hipótese não relaciona .

Vamos considerar

consequentemente, . Este é um contra-exemplo.

b)    

Vamos considerar

e , novamente um contra-exemplo, não é menor que .

c)     

Vamos exemplificar com . O número fracionário não é maior que o número fracionário .

EXEMPLO 2.9

Comparando os números .

Vamos partir do número .

então

concluímos que

.