sexta-feira, 31 de agosto de 2012

1.7 ATIVIDADES DE ENSINO

Como dissemos anteriormente, as ATIVIDADES DE ENSINO são atividades curiosas para jovens e adultos que podem ser utilizadas em “feiras de matemática”.



7.1 CÓDIGOS DE BARRA


Sempre que vamos fazer uma compra encontramos um código de barras sendo utilizado nos produtos. O sistema universal conhecido como UPC (Uniform Product Code) foi adotado nos Estados Unidos e Canadá a partir de 1973. Consiste de uma seqüência de 12 dígitos, representados por barras brancas e pretas alternadas, de espessura variável. O padrão adotado hoje contém 13 dígitos. Os primeiros dois ou três dígitos são utilizados para identificar o país onde o fabricante está registrado, que pode não ser o país onde o artigo é produzido; os próximos quatro ou cinco dígitos indicam o produtor e os cinco restantes identificam o artigo produzido. Finalmente o último dígito é um dígito de controle.

O código de barras de todos os produtos no Brasil começa com a seqüência 789, que é a que identifica o país.


cod_ba6 São quatro espessuras possíveis para as listras. O símbolo 0 identifica uma listra branca fina, o símbolo 00 para uma listra média, 000 para uma branca grossa e 0000 para uma muito grossa. Da mesma forma, vamos representar por 1, 11, 111, 1111 uma barra preta fina, média, grossa e muito grossa, respectivamente. As primeiras quatro listras da figura acima (sem contar, é claro as listras que servem de limite e que aparecem mais compridas na figura) que são: uma listra branca fina, uma preta média, uma branca fina, uma preta grossa, respectivamente, podem ser representadas pela seqüência: 0110111.

Um código de barras representa uma sequência de números. Cada número corresponde um espaço de espessura fixa, que associa uma seqüência de sete dígitos iguais a 0 ou 1. Por exemplo, a seqüência 0110111, que encontramos acima representa o 8.

Como a máquina leitora distingue a direita da esquerda, quando um artigo pode ser passado em uma ou outra direção?

A resposta é simples, o desenho de barras é totalmente simétrico para a máquina que o lê usando um feixe de luz (scanner). Os dígitos são codificados de maneira diferente quando estão do lado direito ou esquerdo do código de barras. Isto é feito conforme a Tabela 9.1 abaixo:

Tabela 7.1
Dígito
Do lado esquerdo
Do lado direito
0
0001101
1110010
1
0011001
1100110
2
0010011
1101100
3
0111101
1000010
4
0100011
1011100
5
0110001
1001110
6
0101111
1010000
7
0111011
1000100
8
0110111
1001000
9
0001011
1110100


A codificação de um número, à direita, se obtém da sua codificação à esquerda, trocando cada 0 por 1 e reciprocamente. Observamos que cada seqüência do lado esquerdo tem um número ímpar de dígitos iguais a 1 e, conseqüentemente, cada uma das seqüências que estão à direita tem um número par. Assim, verificando a paridade de cada seqüência de sete dígitos, a máquina sabe imediatamente de que lado está lendo o código.

O código de barras de todos os produtos produzidos no Brasil começa com a seqüência 789, que é a seqüência numérica que identifica o país.

Os quatro ou cinco dígitos que restam até as barras centrais identificam o fabricante. Os primeiros cinco dígitos do lado direito identificam o produto específico, desse fabricante. O último dígito, chamado dígito de verificação, é adicionado no final do processo de elaboração do código.No código ao lado o dígito de verificação é o 2.
Text Box:
Nos sistemas com dígito de verificação ou algarismo de teste, não se pretende que o erro seja automaticamente corrigido, mas que a pessoa que é o operador da máquina, perceba a ocorrência do erro e seja alertado da necessidade de reescrever o número.

Como a máquina detecta quando um operador apressado comete um erro de digitação?


A DETECÇÃO DE ERROS

Para compreender como funciona o processo de detecção de erros precisamos entender, inicialmente, como se atribui a cada produto, o dígito de verificação.
No código de barras acima, temos a seqüência de dígitos 7 8 9 1 0 0 0 3 7 0 9 0 e o dígito verificador 2 . Vamos supor que não sabemos que é o 2 e queremos encontrá-lo. Para isso vamos denotá-lo por x.

Para facilitar a exposição, escrevemos esta seqüência de treze dígitos como um “vetor”
.

Utilizamos um “vetor” fixo, chamado vetor de pesos :

.

Calcula-se, assim o “produto escalar” dos vetores:

.

Agora o dígito de verificação x se escolhe de tal forma que o “produto escalar” acima, que é igual a seja múltiplo de 10.

Neste caso o dígito x é igual a 2 porque é múltiplo de 10.

De um modo geral, escrevendo a seqüência:


e o “vetor” de pesos

calculando o “produto escalar” dos vetores






o dígito de verificação é escolhido de modo que a soma acima seja múltiplo de dez.


Vejamos agora como funciona a detecção de erros. Suponhamos que o código de barras 7 8 9 0 1 0 0 3 7 0 9 0 por um erro de digitação é transmitido como . Ao fazer a verificação de leitura, o computador que recebeu a informação faz o “produto escalar” e obtém:


como o produto não é múltiplo de 10, o computador avisa que foi cometido algum erro.


Responda:
1.      Qual é o dígito verificador x do produto identificado por 978102713720-x ?
2.      Se mais de um erro for cometido na digitação, o método ainda funciona?
3.      Se a escolha do dígito verificador x fosse feita simplesmente de modo que
fosse múltiplo de 10, seria detectado algum erro?


7.2 ISBN (International Standard Book Number)

Um sistema universalmente adotado para a classificação de livros é o ISBN. Neste exemplo um livro recebeu o código ISBN 85-262-3245-2 uma seqüência de 10 dígitos e o dígito verificador é o 2. Agora o “vetor” é igual a

 .

O “vetor” de pesos no ISBN é e a divisibilidade é por 11

Fazendo o “produto escalar” e obtemos:


o resultado é múltiplo de 11, não foi cometido nenhum erro.


Responda:
Qual é o dígito verificador x do livro identificado por ISBN 85-7312-135-x ?


Se você quer saber mais sobre o assunto, acesse:



7.3 JOGO DE NIM

É um antigo jogo de palitos jogado por duas pessoas.

Dispõe-se sobre uma mesa 32 palitos de fósforo. Cada jogador na sua vez, pode retirar, no mínimo 1 e, no máximo, 4 palitos. Perde o jogador que retirar o último palito.

A pergunta é: como vencer neste jogo?

Sugestão. Observar atentamente a distribuição dos palitos no desenho abaixo.














1.6 ATIVIDADES DE SISTEMATIZAÇÃO

1
Para fixar e recordar o que foi apresentado até o momento, propomos algumas atividades que chamamos de exercícios, que são onze, e catorze probleminhas.


EXERCICIO 6.1

Responda
1)     A decomposição na base dez do número 123.987 é:
2)     Na base dois o número 67 é escrito como:


EXERCICIO 6.2

No quadro abaixo, risque os números que não são primos:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200






















Em quais colunas eles mais aparecem? Em quais não aparecem?


Comentário:

Não é tão fácil encontrar números primos. Os primos da forma são chamados “primos de Mersenne” em homenagem a Marin Mersenne (1588-1648) embora outros matemáticos já tivessem trabalhado com esses números anteriormente. Para se ter uma idéia das dificuldades, até 2006 só haviam sido confirmados 44 primos de Mersenne, sendo que esse 44o número primo é . Esse número tem nove milhões, oitocentos e oito mil, trezentos e cinqüenta e oito dígitos. Só para termos uma idéia de quão grandes são esses números que o 12o primo de Mersenne é:


EXERCICIO 6.3

1)     Qual é um método para encontrar o máximo divisor comum de dois números? Encontre o .
2)     Qual é um método para encontrar o mínimo múltiplo comum de dois números? Encontre o .
3)     Encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números
a)      50, 480 e 900
b)      3690 e 423.


EXERCÍCIO 6.4

Complete o quadro substituindo a letra x por um algarismo de modo que o número da primeira coluna seja divisível por 2 , 5 , 9 e 11, quando possível.


2
5
9
11
2 e 5
932.57x





16.8x4



7

x2.908








EXERCÍCIO 6.5

Um edifício muito alto possui 250 andares, excluindo-se o térreo. Do andar térreo partem cinco elevadores, A , B , C , D e E.
O elevador A pára em todos os andares.
O elevador B pára nos andares múltiplos de 5.
O elevador C pára nos andares múltiplos de 7.
O elevador D pára nos andares múltiplos de 15.
O elevador E pára nos andares múltiplos de 35.
Responda:

a) Em quais andares param os elevadores B e E?
b) Em quais andares param os elevadores B e D?
c) Em quais andares param os três elevadores?
d) Há algum andar onde param os cinco elevadores?


EXERCÍCIO 6.6

Quais algarismos podem substituir a letra d , em cada caso, para que os números da primeira coluna sejam divisíveis pelos números da primeira linha?


2
3
4
5
6
8
9
10
11
53d









84d2









17d30









3d9051









d32640











EXERCÍCIO 6.7

1.      Encontre dois números de quatro algarismos cujo máximo divisor comum seja 36.
2.      Encontre dois números de quatro algarismos cujo mínimo múltiplo comum seja 150.
3.      Quais são os possíveis números cujo máximo divisor comum seja 45 e o mínimo múltiplo comum seja 180?


EXERCÍCIO 6.8

Por uma parada de ônibus passam três linhas, L 401, L 402 e L 403. Os ônibus da linha L 401 passam a cada 10 minutos, os da linha L 402 a cada 12 minutos e da L 403 a cada 15 minutos. Sabe-se que os três circulam 24 horas. Às 6 da manhã os três passaram por essa parada. Quando voltarão a coincidir?


EXERCÍCIO  6.9

Se colocarem os convidados de uma festa em mesas de 8, 10 ou 12 pessoas, sobram 3 convidados, mas em mesas de 9 pessoas, cabem justos. Quantos convidados pode haver nessa festa?


EXERCÍCIO  6.10

Complete a Tabela

Números Poligonais
Primeiro
Segundo
Terceiro
Quarto
Quinto
n-ésimo
Triangulares

1
3
6
10
15
Quadrados

1
4
9
16
25
Pentagonais

1
5
12
22
35
Hexagonais

1
6
15
28
45
Heptagonais








Octogonais








Eneagonais








Decagonais










EXERCÍCIO 6.11

Pode o número 110 ser triangular?


PROBLEMA 6.12


1)     Escreva os números ímpares 1, 3, 5, ... , 17 nas quadrículas da grade 3x3 de modo que a soma dos números em cada linha, coluna ou diagonal seja 27.
















2)     Substitua a letra X no número X 7 X X X X X X 9 de modo que a soma de três algarismos adjacentes seja igual a 20 (adjacente significa contíguo, junto).


3)     Troque o símbolo por números na multiplicação
1















 
.








4)     Justifique o produto:

a)     
b)    
c)     
d)    
e)     
f)     
g)    
h)    
i)      


5)     Porque o algarismo das unidades de um número natural elevado ao quadrado não pode ser em 2 , 3 ,7 ou 8 ?


6)     Deseja-se dividir um terreno retangular de 18 m de frente por 30 m de fundos em quadrados todos iguais. Qual é o número mínimo de quadrados?


7)     Para se comprovar que um número p é primo, pode ir dividindo p pelos primos 2 , 3 , 5 , 7 , etc. até que o quociente seja menor que o divisor. Se não conseguiu nenhuma divisão exata, poderá afirmar que p é primo. Por exemplo, 79 é primo, porque entre as divisões abaixo, nenhuma é exata
(o quociente já é menor que 11)
Seguindo este método, verifique se os números 541 e 2311 são primos.


8)     Dois livros têm 768 e 480 páginas, respectivamente. Ambos estão formados por capítulos com idêntico número de páginas, compreendidos entre 30 e 40 páginas. Quantas páginas tem cada capítulo?


9)     O produto de dois números naturais é igual ao produto do seu mínimo múltiplo comum pelo seu máximo divisor comum. Comprove esta propriedade com os pares de números seguintes:
a)                  1820 e 920
b)                 2025 e 525


10) É possível o produto de dois números ser 1444 e seu mínimo múltiplo comum ser 361?


11) (FUVEST) Uma senhora tinha entre trinta e quarenta ações de uma empresa para dividir igualmente entre todos os seus netos. Num ano, quando tinha 3 netos, se a partilha fosse feita, deixaria uma ação sobrando. No ano seguinte, nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente entre os quatro netos o mesmo número de ações, ela observou que sobrariam 3 ações. Nesta última situação, quantas ações receberá cada neto?

a)      6
b)     7
c)      8
d)     9
e)      10


12) (FUVEST) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergente a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi

a)      110
b)     120
c)      130
d)     140
e)      150

13) (FUVEST) O menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é

a)      37
b)     36
c)      35
d)     34
e)      33


14) (UNICAMP) Sabe-se que um número natural D, quando dividido por 31, deixa resto e que o mesmo número D, quando dividido por 17, deixa resto .
a)      Qual é o maior valor possível para o número natural r ?
b)     Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quociente for igual a 7, calcule o valor numérico de D.