BLOCO 1 - NÚMEROS NATURAIS

Explicando o que vamos desenvolver

Para este bloco propomos o estudo dos números de forma ágil, mas não deixando de lado técnicas numéricas e algébricas que acreditamos serem necessárias para a resolução de problemas.

Os dez assuntos que formam este bloco são:

1.1              Decomposição de números naturais no sistema decimal e alguns exemplos de decomposição na base 2.

1.2              Critérios de divisibilidade por: 2, 3, 4, 5, 8, 9 e 11. Destacamos o critério de divisibilidade por 11 por sua aplicabilidade.

1.3              Números primos, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Uma das motivações pelo assunto é a preocupação com a segurança dos cartões de créditos. Vamos acrescentar neste tópico a riqueza da história da matemática.

1.4              Números congruentes, que parecem novidade no ensino médio, tratam do resto da divisão entre dois números naturais. Assunto merece consideração por sua aplicação na leitura ótica dos códigos de barra.

                  

1.5              Padrões, relações numéricas e números figurados. Com exemplos de padrões buscamos generalizações e construções de regras.

1.6               As atividades de sistematização são exercícios para fixação de conceitos e o desenvolvimento da habilidade da escrita matemática.

1.7              As atividades de ensino apresentadas são aplicações dos temas estudados. Podem ser utilizadas em “feiras de matemática”. Trazemos para ilustrar noções de código de barras, com duas atividades, e o tradicional jogo de palitos ou jogo do Nim.

1.8               Resolução de problemas. Resolvemos juntos alguns problemas interessantes que foram questões de vestibulares e das Olimpíadas Brasileiras das Escolas Públicas do Ensino Médio.

1.9              Para concluir este bloco, assim como todos os outros, colocamos pequenos textos para leitura, que pincelam a matemática. Neste bloco, o texto trata da longevidade das cigarras e sua relação com os números congruentes.

1.10      Respostas dos problemas e exercícios.

INTRODUÇÃO

Johann Carl Friedrich Gauss (30/Abr/1777 - 23/Fev/1855) - Matemático, astrônomo e físico alemão que contribuiu muito em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, análise matemática, geometria diferencial, geodésia, geofísica, eletroestática e astronomia.

         Vamos apresentar um pouco da matemática que serve de fundamento ao campo computacional. A maior parte dela já era abordada pelos gregos e denominada logística, quando tratava de cálculos comerciais e de aritmética quando tratava do estudo das propriedades fundamentais dos números inteiros. A aritmética dos gregos é hoje conhecida como a Teoria dos Números. 

Os problemas abordados por eles eram:

• O cálculo do máximo divisor comum entre dois números;
• A determinação de números primos menores que um número inteiro dado;
• A demonstração de que há uma infinidade de números primos.

Esses temas também foram fundamentados pelos matemáticos: Fermat, Euler e Gauss, entre os séculos XVII e XIX. A fundamentação da Teoria dos Números tem mais de 300 anos e as aplicações sofisticadas de hoje têm menos de 20 anos.

Uma aplicação dessa teoria nos dias de hoje aparece quando digitamos um texto. É muito comum trocarmos letras de posições, por exemplo, escrevemos pasat ao invés de pasta, trocamos o “t” com o “a”. Imediatamente um corretor de texto grifa em vermelho a palavra, chamando a nossa atenção. Mas quando digitamos pata para a palavra tapa, trocamos o “t” com o “p”, o corretor não acusa o erro cometido, e só percebemos quando relemos a página.

Agora imaginemos uma situação de banco, onde o funcionário acidentalmente troca a ordem dos números. Isto é muito fácil de acontecer. Como é detectado esse tipo de erro? Será que existe alguma proteção contra esses erros? Qual é o significado do dígito 9, sozinho, ali na quarta célula? 

Comprovante de Pagamento de Título

Agência:  0000 Conta Corrente:  00-000000-0

1 2 3 4 5 Código de Barras      3419173004 01394500787 82655510004 9 00000000002000 Favorecido: Cliente: XXXXXXXX Data do vencimento:   15/05/2015 Data do pagamento: 09/04/2015 Valor Cobrado:   R$ 2000,00

O dígito 9 alerta para algum erro de digitação em algumas das células. Esse dígito é chamado código corretor de erro.

Um código corretor de erros acrescenta algum dado a cada informação que se queira transmitir ou armazenar, que permita, ao recuperar a informação, detectar ou corrigir o erro. Esta área da matemática é muito atual, pois participa do nosso cotidiano todas as vezes que fazemos uso de informações digitalizadas.

A matemática usada para detectar ou corrigir um erro tem origem nos números primos e nos critérios de divisibilidade. 

A tecnologia tornou possível o baixo custo de aparelhos de leitura óptica, surgindo os scanners que são usados na identificação de códigos de barra nos produtos dos supermercados, das farmácias, dos livros nas bibliotecas, das contas a pagar, dos cartões de crédito, e muitos outros. Nos códigos de barra, o sistema de numeração usado não é a base dez e sim a base dois. Cada barra preta ou branca tem uma espessura diferente que representa uma seqüência de números na base dois e os scanners fazem essa tradução, identificando o produto, dando baixa na prateleira, verificando o custo, etc. Para compreender um pouco mais como funciona um código corretor de erros recomendamos a atividade que está em 1.7  nas Atividades de Ensino.

Para este bloco propomos o estudo dos números de forma ágil, mas não deixando de lado técnicas numéricas e algébricas que acreditamos serem necessárias para a resolução de problemas que virão.

Vamos iniciar com a decomposição dos números naturais.

1.1 DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS

            Nosso ponto de partida neste estudo será o conjunto dos números naturais

com as operações de adição e multiplicação conhecidas.

Os dez algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 definem uma base para o conjunto dos números naturais. Isto significa que o número 29.542 se escreve de modo único como:

Base, S.f.: tudo que serve de fundamento, apoio ou sustentáculo.

Esta organização que encontramos na escrita dos números naturais é uma característica do sistema decimal. Ele também é posicional, pois cada algarismo além do seu valor intrínseco possui um peso que lhe é atribuído em função da posição que ocupa no número. Por exemplo, no número 29.542 o algarismo 2 ocupa duas posições, com valores diferentes, como unidade e como dezena de milhar. Na base dez o número 29.542 tem a seguinte decomposição:

A seguir apresentamos uma aplicação do sistema de numeração na base 2 que são os  Códigos binários / ASCII

            Uma boa maneira de tentar entender o que faz um computador é pensar que o computador é uma máquina complexa que contem muitos interruptores que podem ficar ligados ou desligados. Na linguagem computacional, estes interruptores estarem ligados ou não, são representados por uma seqüência de números 1 ou 0, denotado por código binário. Este código é uma aplicação do sistema de numeração na base dois. Um código binário de quatro-bit é uma seqüência de quatro dígitos 1 ou 0.

           

Uma aplicação do código binário é o “American Standard Code for Information Interchange” – ASCII, que pronunciamos “As-key” . ASCII é um código no qual uma letra, um número ou outro símbolo qualquer é representado por um número de 0 até 127. ASCII traduz em código binário de sete-bit (seqüência de sete dígitos 1 ou 0) para o computador. Um programador de computador algumas vezes usa o ASCII para organizar dados porque ele é um código padrão que pode ser usado por diferentes computadores e sistemas operacionais.

            

Resolva os seguintes problemas

1.     Encontrar os números na base dois completando as colunas com 1 ou 0 : 

Sessenta e quatro 26	Trinta e dois 25	Dezesseis 24	Oito 23	Quatro 22	Dois 21	Um 20	Total (base dez)
							65
							69
							109
							117

2.     Codificando e descodificando códigos binários e mensagens ASCII

Nas tabelas abaixo, encontramos letras, espaço, ponto e vírgula baseados no sistema ASCII.

A	65	I	73	Q	81	Y	89	g	103	o	111	w	119
B	66	J	74	R	82	Z	90	h	104	p	112	x	120
C	67	K	75	S	83	a	97	i	105	q	113	y	121
D	68	L	76	T	84	b	98	j	106	r	114	z	122
E	69	M	77	U	85	c	99	k	107	s	115	espaço	32
F	70	N	78	V	86	d	100	l	108	t	116	ponto	46
G	71	O	79	W	87	e	101	m	109	u	117	vírgula	44
H	72	P	80	X	88	f	102	n	110	v	118

Descodifique a seguinte mensagem usando ASCII

1000101

1110101

100000

1100001

1101101

1101111

100000

1001101

1100001

1110100

1100101

1101101

1100001

1110100

1101001

1100010

1100001

101110

Descobriu qual é a mensagem?

Continuando os nossos estudos propomos alguns probleminhas curiosos, que são os Exemplo1.1, Exemplo 1.2,  e Exemplo 1.3 que para resolvê-los não é necessário muita informação matemática, basta possuir o prazer do desafio. Cada problema pode ser resolvido de maneira diferente. De início, parece que nem sabemos de onde partir, mas aos poucos conseguimos separar quais são as suposições e chegar ao melhor caminho para a solução ou resultado desejado.

Deve ser observado que não existe maneira única de resolver um problema, podendo ocorrer que alguém apresente um caminho diferente para a solução e que seja muito mais simples daquela que sugerimos neste texto.

Todo problema possui no seu enunciado, ou seja, na sua proposta, uma hipótese que descreve aquilo que estamos supondo como verdadeiro, que nos conduzirá ao resultado final, e a conclusão final que é a tese. 

EXEMPLO 1.1

            Qual é o algarismo das unidades do produto: 1 X 3 X 82 X 479 X 587 X 127 ?

    -   Primeira pergunta: o que temos que fazer neste problema?

    -  Encontrar o algarismo das unidades do produto  1 X 3 X 82 X 479 X 587 X 127   .

    - Como devemos proceder para encontrá-lo?

    - ­Será possível obtermos a resposta sem efetuarmos o produto que é tão longo?

Se o algarismo pedido é o das unidades, basta pensarmos “com que número ou algarismo termina esse produto” e, portanto não é necessário calcular o valor exato do produto.

Começando a resolver: 

A ordem por onde começamos a efetuar o produto é independente, poderíamos ter começado por   587 X 127que o resultado final seria o mesmo. Este problema tem uma única resposta que é o 6.

Observando que a multiplicação nos números naturais é comutativa e associativa podendo o produto ser efetuado em qualquer ordem, obtemos:  

O algarismo das unidades é o 6 e não foi preciso efetuar tanta conta.

EXEMPLO 1.2

            Qual é o algarismo na posição das centenas do menor número de quatro algarismos diferentes? E qual é esse número?

           

Resolvendo

O número deve possuir quatro algarismos __  __  __  __  , cada traço está representando um algarismo e todos os algarismos são distintos.

Também é informado que o número é o menor possível.

O menor número de quatro algarismos é o mil, 1.000. Mas esses algarismos não são todos distintos como está pedindo o problema. Podemos ficar com o:

1  0  __ __

O algarismo das centenas deve ser o zero mas faltam os algarismos da dezena e da unidade. O algarismo da dezena deve ser o 2 e o das unidades o 3.

                                               

O menor número com quatro algarismos, todos diferentes, é o número  1  0  2  3 .

EXEMPLO 1.3

            Qual é o valor de X  na igualdade abaixo?

Em seguida estudaremos alguns dos critérios de divisibilidade.